Bestehen bleiben bedeutet fortdauern oder halten beziehungsweise anhalten. Dinge oder Zustände, die von Dauer sind, bleiben bestehen, mit anderen Worten – sie dauern über einen längeren Zeitraum hinweg an, erhalten sich oder sind fortdauernd. Wenn etwas bestehen bleibt, bleibt es konstant und unverändert.
Richtig: bestehen bleiben
Falsch: bestehenbleiben
Beispiele:
Mit den derzeitigen Verhältnissen sind alle zufrieden, deshalb sollen sie nach Möglichkeit bestehen bleiben.
Der Chef setzt sich dafür ein, dass die Struktur der Firma auch im nächsten Jahr bestehen bleibt.
Wenn die jetzt vorherrschenden Zustände weiterhin bestehen bleiben, sieht das Unternehmen keiner erfolgreichen Zukunft entgegen.

Mein Name ist Anatoli Bauer und ich bin Spätaussiedler aus Russland, der 1997 als Kind nach Deutschland gekommen ist. Als Kind musste ich die deutsche Sprache als Fremdsprache lernen und dabei musste ich natürlich auch die Grammatik und Rechtschreibung von Grund auf neu erlernen. Seit dieser Zeit beschäftige ich mich sehr gerne mit der deutschen Grammatik und in diesem Bereich hatte ich ab der 5. Klasse auf dem Gymnasium und später auch während des Abiturs nachweislich nur Bestnoten.