Die Variante aufs äußerste entspricht den Regeln der alten Rechtschreibung. Nach der Rechtschreibreform ist allerdings auch die Variante aufs Äußerste zulässig. Beide Varianten sind richtig. Entsprechend folgen die Bildungen aufs dringlichste/ Dringlichste, aufs schärfste/ Schärfste, aufs höchste/ Höchste etc.
Alte Rechtschreibung: aufs äußerste
neue Variante: aufs Äußerste
Beispiele
Auf die neue Staffel freute er sich aufs äußerste/ aufs Äußerste.
Er war bis aufs äußerste/ aufs Äußerste angespannt.
Die Lage war aufs äußerste/ aufs Äußerste explosiv.

Mein Name ist Anatoli Bauer und ich bin Spätaussiedler aus Russland, der 1997 als Kind nach Deutschland gekommen ist. Als Kind musste ich die deutsche Sprache als Fremdsprache lernen und dabei musste ich natürlich auch die Grammatik und Rechtschreibung von Grund auf neu erlernen. Seit dieser Zeit beschäftige ich mich sehr gerne mit der deutschen Grammatik und in diesem Bereich hatte ich ab der 5. Klasse auf dem Gymnasium und später auch während des Abiturs nachweislich nur Bestnoten.